1987 AMC 12 第 10 题

Question

由非零实数组成的有序三元组

(a,b,c)

中，满足每个数都等于另外两个数之积的有多少个？

How many ordered triples

(a,b,c)

of nonzero real numbers have the property that each number is the product of the other two?

1

2

3

4

5

将条件写成

a=bc,\ b=ca,\ c=ab

Translate the condition into

a=bc,\ b=ca,\ c=ab

将三个方程相乘，并利用变量非零的条件确定其绝对值

Multiply the equations and use the nonzero condition to determine the possible magnitudes

将

a=bc,\ b=ca,\ c=ab

相乘，得到

abc=(abc)^2\text{。}

由于变量都不为零，所以

abc=1

。此外，

abc=a^2=b^2=c^2

，所以每个变量都是

1

或

-1

。乘积为

1

时，要么没有负号，要么恰有两个负号，因此共有

1+3=4

个有序三元组。

所以正确答案是 D。

Multiplying

a=bc,\ b=ca,\ c=ab

gives

abc=(abc)^2.

Since none of the variables is zero,

abc=1.

Also

abc=a^2=b^2=c^2,

so each variable is

1

or

-1.

Product

1

allows either no negative signs or exactly two, giving

1+3=4

ordered triples.

Thus the correct answer is D.

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