1987 AMC 12 Problema 10

Question

¿Cuántas ternas ordenadas

(a,b,c)

de números reales no nulos tienen la propiedad de que cada número es el producto de los otros dos?

How many ordered triples

(a,b,c)

of nonzero real numbers have the property that each number is the product of the other two?

1

2

3

4

5

Traduce la condición en

a=bc,\ b=ca,\ c=ab

Translate the condition into

a=bc,\ b=ca,\ c=ab

Multiplica las ecuaciones y usa la condición de que los números son no nulos para determinar sus magnitudes posibles

Multiply the equations and use the nonzero condition to determine the possible magnitudes

Al multiplicar

a=bc,\ b=ca,\ c=ab

obtenemos

abc=(abc)^2.

Como ninguna variable es cero,

abc=1.

Además,

abc=a^2=b^2=c^2,

así que cada variable es

1

o

-1.

Para que el producto sea

1,

puede no haber signos negativos o puede haber exactamente dos, lo que da

1+3=4

ternas ordenadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Multiplying

a=bc,\ b=ca,\ c=ab

gives

abc=(abc)^2.

Since none of the variables is zero,

abc=1.

Also

abc=a^2=b^2=c^2,

so each variable is

1

or

-1.

Product

1

allows either no negative signs or exactly two, giving

1+3=4

ordered triples.

Thus the correct answer is D.

El Problema 10 en otros años