1990 AMC 12 第 18 题

Question

先随机选择

a

，它来自集合

\{1,2,3,\ldots,99,100\}

；再从同一集合中随机选择

b

。整数

3^a+7^b

的个位数字为

8

的概率是

First

a

is chosen at random from the set

\{1,2,3,\ldots,99,100\},

and then

b

is chosen at random from the same set. The probability that the integer

3^a+7^b

has units digit

8

is

\frac1{16}

\frac18

\frac3{16}

\frac15

\frac14

答案：C

知识点：模运算 probability exponent cycle

难度评级：2060

小提示：

这两个幂的个位数字都以

4

为周期重复

The units digits of both powers repeat with period

4

大提示：

列出余数对

(a\bmod4,b\bmod4)

中能使个位数字为

8

的情形

List the residue pairs

(a\bmod4,b\bmod4)

that produce a units digit of

8

解答：

3^a

在

a\equiv1,2,3,0\pmod4

时的个位数字依次为

3,9,7,1

；而

7^b

的个位数字依次为

7,9,3,1

。和的个位数字为

8

时，余数对为

\begin{aligned} (a,b)\equiv{}&(2,2),(3,0),\\ &(0,1)\pmod4 \end{aligned}\text{。}

每种余数都出现

25

次（在

1,\ldots,100

中），所以所求概率为

\frac{3}{16}

。

所以正确答案是 C。

The units digits of

3^a

for

a\equiv1,2,3,0\pmod4

are

3,9,7,1,

while those of

7^b

are

7,9,3,1.

A sum ending in

8

occurs for the residue pairs

\begin{aligned} (a,b)\equiv{}&(2,2),(3,0),\\ &(0,1)\pmod4. \end{aligned}

Each residue occurs

25

times among

1,\ldots,100,

so the probability is

\frac{3}{16}.

Thus the correct answer is C.

1990 AMC 12 第 18 题

答案：C

难度评级：2060

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题