1990 AMC 12 Problema 18

Question

Primero se elige

a

al azar del conjunto

\{1,2,3,\ldots,99,100\},

y luego se elige

b

al azar del mismo conjunto. La probabilidad de que el entero

3^a+7^b

tenga como dígito de las unidades el

8

es

First

a

is chosen at random from the set

\{1,2,3,\ldots,99,100\},

and then

b

is chosen at random from the same set. The probability that the integer

3^a+7^b

has units digit

8

is

\frac1{16}

\frac18

\frac3{16}

\frac15

\frac14

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular probability exponent cycle

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Los dígitos de las unidades de ambas potencias se repiten con período

4

The units digits of both powers repeat with period

4

Pista grande:

Enumera los pares de residuos

(a\bmod4,b\bmod4)

que producen un dígito de las unidades igual a

8

List the residue pairs

(a\bmod4,b\bmod4)

that produce a units digit of

8

Solución:

Los dígitos de las unidades de

3^a

para

a\equiv1,2,3,0\pmod4

son

3,9,7,1,

mientras que los de

7^b

son

7,9,3,1.

Una suma que termina en

8

corresponde a los pares de residuos

\begin{aligned} (a,b)\equiv{}&(2,2),(3,0),\\ &(0,1)\pmod4. \end{aligned}

Cada residuo aparece

25

veces entre

1,\ldots,100,

así que la probabilidad es

\frac{3}{16}.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

The units digits of

3^a

for

a\equiv1,2,3,0\pmod4

are

3,9,7,1,

while those of

7^b

are

7,9,3,1.

A sum ending in

8

occurs for the residue pairs

\begin{aligned} (a,b)\equiv{}&(2,2),(3,0),\\ &(0,1)\pmod4. \end{aligned}

Each residue occurs

25

times among

1,\ldots,100,

so the probability is

\frac{3}{16}.

Thus the correct answer is C.