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1990 AMC 12 第 19 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

有多少个整数

N

介于

1

和

1990

之间，使假分数

\frac{N^2+7}{N+4}

不是最简分数？

For how many integers

N

between

1

and

1990

is the improper fraction

\frac{N^2+7}{N+4}

not in lowest terms?

0

86

90

104

105

答案：B

知识点：最大公约数模运算区间内整数计数

难度评级：1900

小提示：

将

N^2+7

对

N+4

取模化简

Reduce

N^2+7

modulo

N+4

大提示：

唯一可能的公质因数是

23

的因数

The only possible common prime factor is a divisor of

23

解答：

对

N+4

取模，有

N\equiv-4

，所以

N^2+7\equiv16+7=23\text{。}

因此，该分数可约分，当且仅当

N+4

能被

23

整除，即

N\equiv19\pmod{23}

。这些值为

19,42,\ldots,1974

，一共有

86

个。

所以正确答案是 B。

Modulo

N+4,

we have

N\equiv-4,

so

N^2+7\equiv16+7=23.

Thus the fraction is reducible exactly when

N+4

is divisible by

23,

or

N\equiv19\pmod{23}.

The values are

19,42,\ldots,1974,

a total of

86.

Thus the correct answer is B.

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