1990 AMC 12 第 25 题

Question

九个全等的球装入一个单位立方体中，其中一个球的球心位于立方体中心，其余每个球都与中心球以及立方体的三个面相切。每个球的半径是多少？

Nine congruent spheres are packed inside a unit cube in such a way that one of them has its center at the center of the cube and each of the others is tangent to the center sphere and to three faces of the cube. What is the radius of each sphere?

1-\frac{\sqrt3}{2}

\frac{2\sqrt3-3}{2}

\frac{\sqrt2}{6}

\frac14

\frac{\sqrt3(2-\sqrt2)}4

答案：B

知识点：three-dimensional geometry 距离公式 tangent spheres

难度评级：2260

小提示：

将一个角落球的球心置于

(r,r,r)

Place one corner sphere’s center at

(r,r,r)

大提示：

它到

(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})

的距离等于

2r

Its distance from

(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})

equals

2r

解答：

若半径为

r

，则一个角落球的球心为

(r,r,r)

，中心球的球心为

(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})

。相切条件给出

\sqrt3\left(\frac12-r\right)=2r\text{。}

解方程并将分母有理化，

r=\frac{\sqrt3}{2(2+\sqrt3)} =\frac{2\sqrt3-3}{2}\text{。}

所以正确答案是 B。

If the radius is

r,

a corner sphere has center

(r,r,r)

and the central sphere has center

(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}).

Tangency gives

\sqrt3\left(\frac12-r\right)=2r.

Solving and rationalizing,

r=\frac{\sqrt3}{2(2+\sqrt3)} =\frac{2\sqrt3-3}{2}.

Thus the correct answer is B.

1990 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：2260

小提示：

大提示：

解答：

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