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1991 AMC 12 第 19 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

三角形

ABC

在

C

处为直角，且

AC=3

、

BC=4

。三角形

ABD

在

A

处为直角，且

AD=12

。点

C

和

D

位于

AB

的两侧。过

D

且平行于

AC

的直线与

CB

的延长线交于

E

。若

\frac{DE}{DB}=\frac mn\text{，}

其中

m

和

n

是互质的正整数，则

m+n=

Triangle

ABC

has a right angle at

C,

AC=3,

and

BC=4.

Triangle

ABD

has a right angle at

A

and

AD=12.

Points

C

and

D

are on opposite sides of

AB.

The line through

D

parallel to

AC

meets

CB

extended at

E.

If

\frac{DE}{DB}=\frac mn,

where

m

and

n

are relatively prime positive integers, then

m+n=

25

128

153

243

256

答案：B

知识点：坐标几何 perpendicular vectors distance

难度评级：2110

小提示：

设

C=(0,0)

、

A=(0,3)

、

B=(4,0)

Place

C=(0,0),

A=(0,3),

and

B=(4,0)

大提示：

求

D

时，使用一条长度为

12

且垂直于

\overrightarrow{AB}

的向量

Find

D

by using a length-

12

vector perpendicular to

\overrightarrow{AB}

解答：

设

C=(0,0)

、

A=(0,3)

、

B=(4,0)

。由于

\overrightarrow{AB}=(4,-3)

，长度为

12

、垂直于

\overrightarrow{AB}

且背离

C

的向量为

(\frac{36}{5},\frac{48}{5})

。因此

D=(\frac{36}{5},\frac{63}{5})

。又因

DE\parallel AC

，有

E=(\frac{36}{5},0)

，所以

DE=\frac{63}{5}

，

DB=13

。于是

\frac{DE}{DB}=\frac{\frac{63}{5}}{13}=\frac{63}{65}\text{。}

因此

m+n=63+65=128

。

因此正确答案为 B。

Place

C=(0,0),

A=(0,3),

and

B=(4,0).

Since

\overrightarrow{AB}=(4,-3),

the length-

12

vector perpendicular to

\overrightarrow{AB}

and directed away from

C

is

(\frac{36}{5},\frac{48}{5}).

Hence

D=(\frac{36}{5},\frac{63}{5}).

Since

DE\parallel AC,

we have

E=(\frac{36}{5},0),

so

DE=\frac{63}{5}

and

DB=13.

Therefore

\frac{DE}{DB}=\frac{\frac{63}{5}}{13}=\frac{63}{65}.

Thus

m+n=63+65=128.

Thus the correct answer is B.

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