In English En chino

1991 AMC 12 Problema 19

Intenta el Problema 19 del 1991 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1991 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

El triángulo

ABC

tiene un ángulo recto en

C,

AC=3,

y

BC=4.

El triángulo

ABD

tiene un ángulo recto en

A

y

AD=12.

Los puntos

C

y

D

están en lados opuestos de

AB.

La recta que pasa por

D

y es paralela a

AC

corta a la prolongación de

CB

en

E.

Si

\frac{DE}{DB}=\frac mn,

donde

m

y

n

son enteros positivos coprimos, entonces

m+n=

Triangle

ABC

has a right angle at

C,

AC=3,

and

BC=4.

Triangle

ABD

has a right angle at

A

and

AD=12.

Points

C

and

D

are on opposite sides of

AB.

The line through

D

parallel to

AC

meets

CB

extended at

E.

If

\frac{DE}{DB}=\frac mn,

where

m

and

n

are relatively prime positive integers, then

m+n=

25

128

153

243

256

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica perpendicular vectors distance

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Coloca

C=(0,0),

A=(0,3),

y

B=(4,0)

Place

C=(0,0),

A=(0,3),

and

B=(4,0)

Pista grande:

Halla

D

mediante un vector de longitud

12

perpendicular a

\overrightarrow{AB}

Find

D

by using a length-

12

vector perpendicular to

\overrightarrow{AB}

Solución:

Coloca

C=(0,0),

A=(0,3),

y

B=(4,0).

Como

\overrightarrow{AB}=(4,-3),

el vector de longitud

12

, perpendicular a

\overrightarrow{AB}

y dirigido en sentido opuesto a

C

, es

(\frac{36}{5},\frac{48}{5}).

Por tanto,

D=(\frac{36}{5},\frac{63}{5}).

Como

DE\parallel AC,

tenemos

E=(\frac{36}{5},0),

de modo que

DE=\frac{63}{5}

y

DB=13.

Entonces

\frac{DE}{DB}=\frac{\frac{63}{5}}{13}=\frac{63}{65}.

Por lo tanto,

m+n=63+65=128.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place

C=(0,0),

A=(0,3),

and

B=(4,0).

Since

\overrightarrow{AB}=(4,-3),

the length-

12

vector perpendicular to

\overrightarrow{AB}

and directed away from

C

is

(\frac{36}{5},\frac{48}{5}).

Hence

D=(\frac{36}{5},\frac{63}{5}).

Since

DE\parallel AC,

we have

E=(\frac{36}{5},0),

so

DE=\frac{63}{5}

and

DB=13.

Therefore

\frac{DE}{DB}=\frac{\frac{63}{5}}{13}=\frac{63}{65}.

Thus

m+n=63+65=128.

Thus the correct answer is B.

El Problema 19 en otros años