In English En español

1992 AMC 12 第 24 题

先试着解答 1992 AMC 12 第 24 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1992 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

设

ABCD

是面积为

10

的平行四边形，其中

AB=3

、

BC=5

。点

E

、

F

和

G

分别位于线段

\overline{AB}

、

\overline{BC}

和

\overline{AD}

上，并且

AE=BF=AG=2

。过

G

作平行于

\overline{EF}

的直线，与

\overline{CD}

交于

H

。四边形

EFHG

的面积为

Let

ABCD

be a parallelogram of area

10

with

AB=3

and

BC=5.

Locate

E,

F,

and

G

on segments

\overline{AB},

\overline{BC},

and

\overline{AD},

respectively, with

AE=BF=AG=2.

Let the line through

G

parallel to

\overline{EF}

intersect

\overline{CD}

at

H.

The area of the quadrilateral

EFHG

is

4

4.5

5

5.5

6

答案：C

知识点：平行四边形 affine coordinates polygon area

难度评级：2040

小提示：

以

AB

和

AD

为仿射坐标基

Use

AB

and

AD

as an affine coordinate basis

大提示：

在该坐标基下，

E=(\frac{2}{3},0)

、

F=(1,\frac{2}{5})

，且

G=(0,\frac{2}{5})

；利用平行条件确定

H

In that basis,

E=(\frac{2}{3},0),

F=(1,\frac{2}{5}),

and

G=(0,\frac{2}{5})

; use the parallel condition to locate

H

解答：

以

AB

和

AD

为基向量，则

\begin{aligned} E&=\left(\frac23,0\right),\\ F&=\left(1,\frac25\right),\\ G&=\left(0,\frac25\right) \end{aligned}\text{。}

过

G

且平行于

EF

的直线与

CD

交于

H=(\frac{1}{2},1)

。用鞋带公式可得

EFHG

在该坐标系中的面积为

\frac{1}{2}

。仿射坐标中的面积应乘以

ABCD

的面积

10

，所以

[EFHG]=\frac12\cdot10=5

。

因此正确答案是 C。

Use

AB

and

AD

as basis vectors. Then

\begin{aligned} E&=\left(\frac23,0\right),\\ F&=\left(1,\frac25\right),\\ G&=\left(0,\frac25\right). \end{aligned}

A line from

G

parallel to

EF

meets

CD

at

H=(\frac{1}{2},1).

The shoelace formula gives the coordinate area of

EFHG

as

\frac{1}{2}.

Affine coordinates scale all areas by the area

10

of

ABCD,

so

[EFHG]=\frac12\cdot10=5.

Thus the correct answer is C.

其他年份的第 24 题