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1997 AMC 12 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

对任意正整数

n

，定义

f(n)= \begin{cases} \log_8n, & \log_8n\in\mathbb{Q},\\ 0, & \log_8n\notin\mathbb{Q} \end{cases}\text{。}

求

\displaystyle\sum_{n=1}^{1997}f(n)

。

For any positive integer

n,

let

f(n)= \begin{cases} \log_8n, & \log_8n\in\mathbb{Q},\\ 0, & \log_8n\notin\mathbb{Q}. \end{cases}

What is

\displaystyle\sum_{n=1}^{1997}f(n)?

\log_8 2047

6

\frac{55}{3}

\frac{58}{3}

585

答案：C

知识点：logarithms 质因数分解 sums

难度评级：1860

小提示：

判断哪些整数可以写成

8=2^3

的有理数次幂

Determine which integers can be rational powers of

8=2^3

大提示：

列出不超过

1997

的所有

2

的幂，并将它们以

8

为底的对数相加

List the powers of

2

not exceeding

1997

and sum their base-

8

logarithms

解答：

对整数

n

，当且仅当

n

是

2

的幂时，

\log_8n

才是有理数。符合条件的数为

n=2^k

，其中

0\le k\le10

，并且

f(2^k)=\frac{k}{3}

。因此总和为

\frac{0+1+\cdots+10}{3}=\frac{55}{3}

，所以正确答案是 C。

For integer

n,

\log_8n

is rational exactly when

n

is a power of

2.

The relevant values are

n=2^k

for

0\le k\le10,

and

f(2^k)=\frac{k}{3}.

Therefore the sum is

\frac{0+1+\cdots+10}{3}=\frac{55}{3},

so C is correct.

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