1970 AMC 12 Problema 26

Question

El número de puntos distintos del plano

xy

que son comunes a las gráficas de

(x+y-5)(2x-3y+5)=0

y

(x-y+1)(3x+2y-12)=0

es:

The number of distinct points in the

xy

-plane common to the graphs of

(x+y-5)(2x-3y+5)=0

and

(x-y+1)(3x+2y-12)=0

is:

0

1

2

3

4

infinitos

infinite

Respuesta: B

Conceptos:sistema de ecuaciones propiedad del producto nulo conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Cada ecuación producto representa la unión de dos rectas

Each product equation represents a union of two lines

Pista grande:

Comprueba la intersección de las dos rectas de cada par antes de considerar los cuatro emparejamientos

Check the intersection of the two lines in each pair before considering all four pairings

Solución:

La primera gráfica es la unión de

x+y=5,\qquad 2x-3y=-5,

y esas dos rectas se cortan en

(2,3).

La segunda gráfica es la unión de

x-y=-1,\qquad 3x+2y=12,

y estas también se cortan en

(2,3).

De hecho, al sustituir

(2,3)

se satisfacen las cuatro ecuaciones de las rectas. Como las cuatro rectas tienen pendientes distintas, ningún otro punto puede pertenecer a una recta de cada gráfica. Hay exactamente un punto común.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first graph is the union of

x+y=5,\qquad 2x-3y=-5,

and those two lines meet at

(2,3).

The second graph is the union of

x-y=-1,\qquad 3x+2y=12,

and these also meet at

(2,3).

In fact, substituting

(2,3)

satisfies all four line equations. Since the four lines have distinct slopes, no other point can belong to a line from each graph. There is exactly one common point.

Therefore, the correct answer is B.