1985 AMC 12 Problema 26

Question

Halla el menor entero positivo

n

para el cual

\frac{n-13}{5n+6}

es una fracción reducible no nula.

Find the least positive integer

n

for which

\frac{n-13}{5n+6}

is a non-zero reducible fraction.

45

68

155

226

ninguna de las anteriores

none of these

Todo divisor común de

n-13

y

5n+6

también divide una combinación lineal adecuada

Any common divisor of

n-13

and

5n+6

also divides a suitable linear combination

Calcula

(5n+6)-5(n-13)

Compute

(5n+6)-5(n-13)

El algoritmo de Euclides da

\begin{aligned} &\gcd(n-13,5n+6)\\ &\quad=\gcd(n-13,71). \end{aligned}

Como

71

es primo, la fracción no nula es reducible exactamente cuando

n-13

es un múltiplo no nulo de

71.

La menor posibilidad positiva es

n=13+71=84,

que no está entre las cuatro opciones numéricas.

Así, la respuesta correcta es E.

Euclid’s algorithm gives

\begin{aligned} &\gcd(n-13,5n+6)\\ &\quad=\gcd(n-13,71). \end{aligned}

Since

71

is prime, the nonzero fraction is reducible exactly when

n-13

is a nonzero multiple of

71.

The least positive possibility is

n=13+71=84,

which is not among the four numerical choices.

Thus the correct answer is E.

El Problema 26 en otros años