1967 AMC 12 Problema 26

Question

Si se usa solo la información tabulada

10^3=1000,

10^4=10{,}000,

2^{10}=1024,

2^{11}=2048,

2^{12}=4096,

2^{13}=8192,

entonces la afirmación más precisa que puede hacerse sobre

\log_{10}2

es que está entre:

If one uses only the tabular information

10^3=1000,

10^4=10{,}000,

2^{10}=1024,

2^{11}=2048,

2^{12}=4096,

2^{13}=8192,

then the strongest statement one can make for

\log_{10}2

is that it lies between:

\dfrac3{10}

y

\dfrac4{11}

\dfrac3{10}

and

\dfrac4{11}

\dfrac3{10}

y

\dfrac4{12}

\dfrac3{10}

and

\dfrac4{12}

\dfrac3{10}

y

\dfrac4{13}

\dfrac3{10}

and

\dfrac4{13}

\dfrac3{10}

y

\dfrac{40}{132}

\dfrac3{10}

and

\dfrac{40}{132}

\dfrac3{11}

y

\dfrac{40}{132}

\dfrac3{11}

and

\dfrac{40}{132}

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Compara

10^3

con

2^{10}

para obtener una cota inferior

Compare

10^3

with

2^{10}

for a lower bound

Pista grande:

Compara

2^{13}

con

10^4

para obtener una cota superior

Compare

2^{13}

with

10^4

for an upper bound

Solución:

De

10^3\lt2^{10}

obtenemos

3\lt10\log_{10}2,

por lo que

\log_{10}2\gt\frac{3}{10}.

De

2^{13}\lt10^4

obtenemos

13\log_{10}2\lt4,

por lo que

\log_{10}2\lt\frac{4}{13}.

Este es el intervalo más estrecho de la lista que justifica la tabla.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From

10^3\lt2^{10}

we get

3\lt10\log_{10}2,

so

\log_{10}2\gt\frac{3}{10}.