1989 AMC 12 Problema 26

Question

Se forma un octaedro regular uniendo los centros de las caras adyacentes de un cubo. La razón entre el volumen del octaedro y el volumen del cubo es

A regular octahedron is formed by joining the centers of adjoining faces of a cube. The ratio of the volume of the octahedron to the volume of the cube is

\frac{\sqrt3}{12}

\frac{\sqrt6}{16}

\frac16

\frac{\sqrt2}{8}

\frac14

Respuesta: C

Conceptos:geometría del cubo poliedro volumen

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Escala el cubo para que tenga arista

2

y sitúa su centro en el origen

Scale the cube to side length

2

and place its center at the origin

Pista grande:

El octaedro tiene vértices

(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)

The octahedron has vertices

(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)

Solución:

Toma un cubo de arista

2,

cuyo volumen es

8.

Los centros de las caras son

(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1).

En cada octante, el octaedro recorta un tetraedro con tres aristas unitarias perpendiculares y volumen

\frac{1}{6}.

Así, su volumen es

8(\frac{1}{6})=\frac{4}{3},

y la razón es

\frac{\frac{4}{3}}{8}=\frac{1}{6}.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Take a cube of side

2,

so its volume is

8.

The face centers are

(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1).

In each octant, the octahedron cuts out a tetrahedron with three perpendicular unit edges and volume

\frac{1}{6}.

Thus its volume is

8(\frac{1}{6})=\frac{4}{3},

and the ratio is

\frac{\frac{4}{3}}{8}=\frac{1}{6}.

Thus the correct answer is C.