1976 AMC 12 Problema 26

Question

En la figura adjunta, todos los puntos del círculo

O'

son exteriores al círculo

O.

Sean

P

y

Q

los puntos de intersección de una tangente común interna con las dos tangentes comunes externas. Entonces la longitud de

PQ

In the adjoining figure, every point of circle

O'

is exterior to circle

O.

Let

P

and

Q

be the points of intersection of an internal common tangent with the two external common tangents. Then the length of

PQ

is

es el promedio de las longitudes de las tangentes comunes interna y externa

the average of the lengths of the internal and external common tangents

es igual a la longitud de una tangente común externa si y solo si los círculos

O

y

O'

tienen radios iguales

equal to the length of an external common tangent if and only if circles

O

and

O'

have equal radii

siempre es igual a la longitud de una tangente común externa

always equal to the length of an external common tangent

es mayor que la longitud de una tangente común externa

greater than the length of an external common tangent

es la media geométrica de las longitudes de las tangentes comunes interna y externa

the geometric mean of the lengths of the internal and external common tangents

Respuesta: C

Conceptos:circunferencias tangentes recta tangente homotecia

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Marca el punto de tangencia en cada una de las tres rectas tangentes

Mark the tangency point on each of the three tangent lines

Pista grande:

Desde

P

o

Q,

los segmentos tangentes a un mismo círculo tienen igual longitud

From either

P

or

Q,

tangent segments to the same circle have equal lengths

Solución:

Sea la tangente interna tangente a

O

y

O'

en

R

y

S.

Sea la tangente externa que pasa por

P

tangente a los círculos en

X

y

Y,

y sea la que pasa por

Q

tangente en

V

y

W.

Los segmentos tangentes desde un mismo punto son iguales, de modo que

\begin{gathered} PR=PX,\\ PS=PY,\\ QR=QV,\\ QS=QW. \end{gathered}

Sobre la tangente interna,

PR+QR=PQ

y

PS+QS=PQ.

Al sumar,

\begin{aligned} PR+QR+PS+QS=2PQ. \end{aligned}

Sobre las tangentes externas,

PX+PY=XY

y

QV+QW=VW.

Por tanto,

2PQ=XY+VW.

Los dos segmentos tangentes comunes externos tienen la misma longitud, así que

XY=VW

y, por consiguiente,

PQ=XY=VW.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the internal tangent touch

O

and

O'

at

R

and

S.

Let the external tangent through

P

touch them at

X

and

Y,

and let the one through

Q

touch them at

V

and

W.

Equal tangent segments from a point give

\begin{gathered} PR=PX,\\ PS=PY,\\ QR=QV,\\ QS=QW. \end{gathered}

Along the internal tangent,

PR+QR=PQ

and

PS+QS=PQ.

Adding,

\begin{aligned} PR+QR+PS+QS=2PQ. \end{aligned}

Along the external tangents,

PX+PY=XY

and

QV+QW=VW.

Therefore

2PQ=XY+VW.

The two external common tangent segments have equal length, so

XY=VW

and hence

PQ=XY=VW.

Therefore, the correct answer is C.