1984 AMC 12 Problema 26

Question

En el triángulo obtusángulo

ABC,

AM=MB,

MD\perp BC,

y

EC\perp BC.

Si el área de

\triangle ABC

es

24,

entonces el área de

\triangle BED

es

In the obtuse triangle

ABC,

AM=MB,

MD\perp BC,

EC\perp BC.

If the area of

\triangle ABC

is

24,

then the area of

\triangle BED

is

9

12

15

18

no está determinada de manera única

not uniquely determined

Respuesta: B

Conceptos:área del triángulo punto medio descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Traza el segmento

MC

y compara

\triangle DMC

con

\triangle DME

Draw segment

MC

and compare

\triangle DMC

with

\triangle DME

Pista grande:

Esos triángulos tienen la misma base

MD

y alturas iguales; además,

M

es el punto medio de

AB

Those triangles have the same base

MD

and equal altitudes; also

M

is the midpoint of

AB

Solución:

Traza

MC.

Como

EC\parallel MD,

los puntos

E

y

C

tienen la misma distancia perpendicular a

MD,

por lo que

[DME]=[DMC].

Entonces

\begin{aligned} [BED]&=[BMD]+[DME]\\ &=[BMD]+[DMC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}

Como

M

es el punto medio de

AB,

el triángulo

BMC

tiene la mitad del área de

ABC.

Por consiguiente,

[BED]=12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Draw

MC.

Since

EC\parallel MD,

points

E

and

C

have equal perpendicular distances from

MD,

so

[DME]=[DMC].

Therefore

\begin{aligned} [BED]&=[BMD]+[DME]\\ &=[BMD]+[DMC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}

Because

M

is the midpoint of

AB,

triangle

BMC

has half the area of

ABC.

Thus

[BED]=12.

Therefore, the correct answer is B.