1956 AMC 12 Problema 14

Question

Los puntos

A,

B,

y

C

están sobre un círculo

O.

La recta tangente en

A

y la secante

BC

se cortan en

P,

con

B

entre

C

y

P.

Si

BC=20

y

PA=10\sqrt3,

entonces

PB

es igual a:

The points

A,

B,

and

C

are on a circle

O.

The tangent line at

A

and the secant

BC

intersect at

P,

B

lying between

C

and

P.

If

BC=20

and

PA=10\sqrt3,

then

PB

equals:

5

10

10\sqrt3

20

30

Respuesta: B

Conceptos:potencia de un punto tangent-secant theorem quadratic equation

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Usa

PA^2=PB\cdot PC

Use

PA^2=PB\cdot PC

Pista grande:

Si

PB=t,

entonces

PC=t+20

If

PB=t,

then

PC=t+20

Solución:

Sea

PB=t.

Como

B

está entre

P

y

C,

tenemos

PC=t+20.

El teorema de la tangente y la secante da

(10\sqrt3)^2=t(t+20).

Por tanto,

t^2+20t-300=0,

o bien

(t-10)(t+30)=0.

Una longitud es positiva, así que

t=10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

PB=t.

Since

B

lies between

P

and

C,

we have

PC=t+20.

The tangent-secant theorem gives

(10\sqrt3)^2=t(t+20).

Thus

t^2+20t-300=0,

or

(t-10)(t+30)=0.

A length is positive, so

t=10.

Therefore, the correct answer is B.