1959 AMC 12 Problema 14

Question

Dado el conjunto

S

, cuyos elementos son cero y los enteros pares, positivos y negativos. De las cinco operaciones aplicadas a cualquier par de elementos:

(1)

suma,

(2)

resta,

(3)

multiplicación,

(4)

división,

(5)

cálculo de la media aritmética, las que producen únicamente elementos de

S

son:

Given the set

S

whose elements are zero and the even integers, positive and negative. Of the five operations applied to any pair of elements:

(1)

addition,

(2)

subtraction,

(3)

multiplication,

(4)

division,

(5)

finding the arithmetic mean (average), those operations that yield only elements of

S

are:

todas

all

1,

2,

3,

4

1,

2,

3,

5

1,

2,

3

1,

3,

5

Respuesta: D

Conceptos:paridad contraejemplo operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Comprueba si cada operación siempre transforma dos enteros pares en un entero par

Test whether each operation always takes two even integers to an even integer

Pista grande:

Usa contraejemplos pequeños para la división y el promedio

Use small counterexamples for division and averaging

Solución:

Los enteros pares son cerrados bajo la suma, la resta y la multiplicación. La división falla, pues

\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\notin S.

El promedio falla, pues la media de

0

y

2

es

1\notin S.

Por lo tanto, solo las operaciones

1,

2,

y

3

siempre funcionan, y la respuesta correcta es D.

Even integers are closed under addition, subtraction, and multiplication. Division fails, since

\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\notin S.

Averaging fails, since the mean of

0

and

2

is

1\notin S.

Thus only operations

1,

2,

and

3

always work, and the correct answer is D.