1967 AMC 12 Problema 13

Question

Se quiere construir un triángulo

ABC

dados el lado

a

(opuesto al ángulo

A

), el ángulo

B,

y

h_c,

la altura desde

C.

Si

N

es el número de soluciones no congruentes, entonces

N

A triangle

ABC

is to be constructed given side

a

(opposite angle

A

), angle

B,

and

h_c,

the altitude from

C.

If

N

is the number of noncongruent solutions, then

N

es

1

is

1

es

2

is

2

debe ser cero

must be zero

debe ser infinito

must be infinite

debe ser cero o infinito

must be zero or infinite

Respuesta: E

Conceptos:altura trigonometría deducción lógica

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Fija

BC=a

y traza desde

B

el rayo que forma el ángulo dado

Fix

BC=a

and draw the ray from

B

making the given angle

Pista grande:

La distancia de

C

a ese rayo es fija, sin importar dónde esté

A

sobre él

The distance from

C

to that ray is fixed, regardless of where

A

lies on it

Solución:

Fijamos

BC=a

y trazamos desde

B

el rayo que forma el ángulo prescrito

B.

Su distancia a

C

es fija. Si esa distancia no es

h_c,

no hay solución. Si es

h_c,

entonces

A

puede elegirse en infinitas posiciones del rayo, lo que produce infinitos triángulos no congruentes. Así,

N

debe ser cero o infinito.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Fix

BC=a

and draw the ray from

B

that makes the prescribed angle

B.

Its distance from

C

is fixed. If that distance is not

h_c,

there is no solution. If it is

h_c,

then

A

may be chosen at infinitely many positions on the ray, producing infinitely many noncongruent triangles. Thus

N

must be zero or infinite.

Therefore, the correct answer is E.