1968 AMC 12 Problema 11

Question

Si un arco de

60^\circ

del círculo

\mathrm{I}

tiene la misma longitud que un arco de

45^\circ

del círculo

\mathrm{II},

la razón entre el área del círculo

\mathrm{I}

y la del círculo

\mathrm{II}

es:

If an arc of

60^\circ

on circle

\mathrm{I}

has the same length as an arc of

45^\circ

on circle

\mathrm{II},

the ratio of the area of circle

\mathrm{I}

to that of circle

\mathrm{II}

is:

16:9

9:16

4:3

3:4

ninguna de las anteriores

none of these

Iguala

(\frac{\theta}{360^\circ})2\pi r

para los dos arcos

Equate

(\frac{\theta}{360^\circ})2\pi r

for the two arcs

Eleva al cuadrado la razón de radios resultante para obtener la razón de áreas

Square the resulting radius ratio to get the area ratio

La igualdad de las longitudes de arco da

60r_1=45r_2,

por lo que

\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{4}.

Las áreas de los círculos varían como los cuadrados de sus radios, lo que da

A_1:A_2=9:16.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Equal arc lengths give

60r_1=45r_2,

so

\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{4}.

Circle areas scale as the squares of the radii, giving

A_1:A_2=9:16.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 11 en otros años