1971 AMC 12 Problema 14

Question

El número

2^{48}-1

es divisible exactamente por dos números comprendidos entre

60

y

70.

Estos números son:

The number

2^{48}-1

is exactly divisible by two numbers between

60

and

70.

These numbers are:

61,

63

61,

65

63,

65

63,

67

67,

69

Respuesta: C

Conceptos:factorización exponente divisibilidad

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Usa que

2^m-1

divide a

2^n-1

siempre que

n

sea divisible por

m

Use the fact that

2^m-1

divides

2^n-1

whenever

n

is divisible by

m

Pista grande:

Reconoce que

63=2^6-1

y que

2^{12}-1

es divisible por

65

Recognize

63=2^6-1

and that

2^{12}-1

is divisible by

65

Solución:

Como

48

es divisible por

6,

el número

2^{48}-1

es divisible por

63=2^6-1.

Además,

2^{12}-1=4095=63\cdot65,

y

48

es divisible por

12,

por lo que

2^{48}-1

es divisible por

65.

Así, los dos números son

63

y

65.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because

48

is divisible by

6,

the number

2^{48}-1

is divisible by

63=2^6-1.

Also

2^{12}-1=4095=63\cdot65,

and

48

is divisible by

12,

so

2^{48}-1

is divisible by

65.

Thus the two numbers are

63

and

65.

Therefore, the correct answer is C.

1971 AMC 12 Problema 14

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años