1971 AMC 12 Problema 17

Question

Un disco circular se divide mediante

2n

radios igualmente espaciados

(n\gt0)

y una recta secante. El número máximo de regiones no superpuestas en que puede dividirse el disco es:

A circular disk is divided by

2n

equally spaced radii

(n\gt0)

and one secant line. The maximum number of nonoverlapping areas into which the disk can be divided is:

2n+1

2n+2

3n-1

3n

3n+1

Comienza con los

2n

sectores formados por los radios

Begin with the

2n

sectors made by the radii

Una secante puede cortar como máximo

n

radios; cuenta después los segmentos de la cuerda secante

A secant can cross at most

n

of the radii, so count the pieces of the secant chord

Los radios forman primero

2n

sectores. Una secante que no pase por el centro puede cortar como máximo un radio de cada uno de los

n

pares opuestos, y por tanto como máximo

n

radios. Esas intersecciones dividen la cuerda secante en

n+1

segmentos, cada uno de los cuales añade una región. El máximo es, por tanto,

2n+(n+1)=3n+1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The radii first make

2n

sectors. A secant not through the center can meet at most one radius in each of

n

opposite pairs, hence at most

n

radii. Those intersections divide the secant chord into

n+1

pieces, each of which adds one region. The maximum is therefore

2n+(n+1)=3n+1.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 17 en otros años