1985 AMC 12 Problema 17

Question

La diagonal

DB

del rectángulo

ABCD

está dividida en tres segmentos de longitud

1

por las rectas paralelas

L

y

L'

, que pasan por

A

y

C

y son perpendiculares a

DB.

El área de

ABCD,

redondeada a una cifra decimal, es

Diagonal

DB

of rectangle

ABCD

is divided into three segments of length

1

by parallel lines

L

and

L'

that pass through

A

and

C

and are perpendicular to

DB.

The area of

ABCD,

rounded to one decimal place, is

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

Respuesta: B

Conceptos:área diagonal rectángulo vector

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Sean

w,h

las longitudes de los lados del rectángulo; entonces su diagonal mide

3

Let the rectangle’s side lengths be

w,h;

then its diagonal has length

3

Pista grande:

Proyecta los lados vertical y horizontal sobre la diagonal para obtener

\frac{h^2}{3}=1

y

\frac{w^2}{3}=2

Project the vertical and horizontal sides onto the diagonal to obtain

\frac{h^2}{3}=1

and

\frac{w^2}{3}=2

Solución:

Sean

D=(0,0),

B=(w,h),

A=(0,h)

y

C=(w,0).

Como

DB=3,

tenemos

w^2+h^2=9.

La proyección de

DA

sobre

DB

mide

\frac{h^2}{3},

y el primer segmento marcado mide

1,

así que

h^2=3.

Del mismo modo, la proyección de

DC

llega al segundo punto de división, por lo que

\frac{w^2}{3}=2

y

w^2=6.

El área es

wh=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4.2426,

que se redondea a

4.2.

La respuesta correcta es B.

Let

D=(0,0),

B=(w,h),

A=(0,h)

and

C=(w,0).

Since

DB=3,

we have

w^2+h^2=9.

The projection of

DA

onto

DB

has length

\frac{h^2}{3},

and the first marked segment has length

1,

so

h^2=3.

Similarly, the projection of

DC

reaches the second division point, so

\frac{w^2}{3}=2

and

w^2=6.

Hence the area is

wh=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4.2426,

which rounds to

4.2.

Therefore the correct answer is B.