1976 AMC 12 Problema 17

Question

Si

\theta

es un ángulo agudo y

\sin2\theta=a,

entonces

\sin\theta+\cos\theta

es igual a

If

\theta

is an acute angle and

\sin2\theta=a,

then

\sin\theta+\cos\theta

equals

\sqrt{a+1}

(\sqrt2-1)a+1

\sqrt{a+1}-\sqrt{a^2-a}

\sqrt{a+1}+\sqrt{a^2-a}

\sqrt{a+1}+a^2-a

Eleva al cuadrado la expresión

\sin\theta+\cos\theta

Square the expression

\sin\theta+\cos\theta

Usa

2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta

y el hecho de que la suma buscada es positiva

Use

2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta

and the fact that the desired sum is positive

Tenemos

\begin{aligned} (\sin\theta+\cos\theta)^2 &=\sin^2\theta+\cos^2\theta\\ &\quad+2\sin\theta\cos\theta\\ &=1+a. \end{aligned}

Tanto el seno como el coseno son positivos para un

\theta

agudo, así que la suma es

\sqrt{a+1}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have

\begin{aligned} (\sin\theta+\cos\theta)^2 &=\sin^2\theta+\cos^2\theta\\ &\quad+2\sin\theta\cos\theta\\ &=1+a. \end{aligned}

Both sine and cosine are positive for acute

\theta,

so the sum is

\sqrt{a+1}.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 17 en otros años