1964 AMC 12 Problema 17

Question

Se dan los puntos distintos

P(x_1,y_1),

Q(x_2,y_2)

y

R(x_1+x_2,y_1+y_2).

Se trazan segmentos que conectan estos puntos entre sí y con el origen

O.

De las tres posibilidades:

(1)

paralelogramo,

(2)

recta,

(3)

trapecio, la figura

OPRQ,

según la ubicación de los puntos

P,

Q,

y

R,

puede ser:

Given the distinct points

P(x_1,y_1),

Q(x_2,y_2)

and

R(x_1+x_2,y_1+y_2).

Line segments are drawn connecting these points to each other and to the origin

O.

Of the three possibilities:

(1)

parallelogram,

(2)

straight line,

(3)

trapezoid, figure

OPRQ,

depending upon the location of the points

P,

Q,

and

R,

can be:

solo

(1)

(1)

only

solo

(2)

(2)

only

solo

(3)

(3)

only

solo

(1)

o

(2)

(1)

or

(2)

only

las tres

all three

Respuesta: D

Conceptos:vector paralelogramo deducción lógica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Interpreta los vectores de posición como

R=P+Q

Interpret the position vectors as

R=P+Q

Pista grande:

Separa los casos en que los vectores

P

y

Q

son independientes o dependientes

Separate the cases in which the vectors

P

and

Q

are independent or dependent

Solución:

La relación

\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}

hace que los lados opuestos de

OPRQ

sean paralelos e iguales cuando

P

y

Q

no son colineales, de modo que la figura es un paralelogramo. Si los dos vectores son dependientes, los cuatro puntos están en una recta. No puede ser un trapecio genuino.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The relation

\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}

makes opposite sides of

OPRQ

parallel and equal whenever

P

and

Q

are not collinear, so the figure is a parallelogram. If the two vectors are dependent, all four points lie on a straight line. It cannot be a genuine trapezoid.

Thus, the correct answer is D.

1964 AMC 12 Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años