1983 AMC 12 Problema 17

Question

El diagrama de la derecha muestra varios números en el plano complejo. El círculo es el círculo unitario centrado en el origen. Uno de estos números es el recíproco de

F.

¿Cuál es?

The diagram to the right shows several numbers in the complex plane. The circle is the unit circle centered at the origin. One of these numbers is the reciprocal of

F.

Which one?

A

B

C

D

E

Respuesta: C

Conceptos:número complejo geometría analítica transformación

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Para

z=re^{i\theta},

su recíproco tiene módulo

\frac{1}{r}

For

z=re^{i\theta},

its reciprocal has modulus

\frac{1}{r}

Pista grande:

El recíproco refleja el argumento respecto del eje real y se desplaza dentro del círculo unitario

The reciprocal reflects the argument across the real axis and moves inside the unit circle

Solución:

Si

F=re^{i\theta},

entonces

\frac{1}{F}=r^{-1}e^{-i\theta}.

Como

F

está fuera del círculo unitario en el primer cuadrante, su recíproco está dentro del círculo unitario en el cuarto cuadrante, con el argumento reflejado. Solo el punto

C

tiene esas propiedades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If

F=re^{i\theta},

then

\frac{1}{F}=r^{-1}e^{-i\theta}.

Because

F

is outside the unit circle in quadrant I, its reciprocal is inside the unit circle in quadrant IV, with the reflected argument. Only point

C

has those properties.

Therefore, the correct answer is C.