1975 AMC 12 Problema 11

Question

Sea

P

un punto interior del círculo

K

distinto del centro de

K.

Se trazan todas las cuerdas de

K

que pasan por

P

y se determinan sus puntos medios. El lugar geométrico de estos puntos medios es

Let

P

be an interior point of circle

K

other than the center of

K.

Form all chords of

K

which pass through

P,

and determine their midpoints. The locus of these midpoints is

un círculo al que le falta un punto

a circle with one point deleted

un círculo si la distancia de

P

al centro de

K

es menor que la mitad del radio de

K;

en caso contrario, un arco circular de menos de

360^\circ

a circle if the distance from

P

to the center of

K

is less than one half the radius of

K;

otherwise a circular arc of less than

360^\circ

un semicírculo al que le falta un punto

a semicircle with one point deleted

un semicírculo

a semicircle

un círculo

a circle

Respuesta: E

Conceptos:círculo cuerda punto medio

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Une un punto medio

M

de una cuerda con el centro

O

del círculo

Join a chord midpoint

M

to the circle’s center

O

Pista grande:

Como

OM

es perpendicular a la cuerda que pasa por

P,

\angle OMP=90^\circ

Since

OM

is perpendicular to the chord through

P,

\angle OMP=90^\circ

Solución:

Si

M

es el punto medio de una cuerda y

O

es el centro, entonces

OM

es perpendicular a la cuerda, de modo que

\angle OMP=90^\circ

salvo cuando

M=O.

Así,

M

pertenece al círculo de diámetro

OP.

Recíprocamente, cada punto

M

de ese círculo que no sea un extremo satisface

PM\perp OM,

por lo que la recta

PM

determina una cuerda de

K

cuyo punto medio es

M.

El extremo

M=P

produce la cuerda que pasa por

P

y es perpendicular a

OP,

mientras que

M=O

produce el diámetro que pasa por

O

y

P.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If

M

is a chord midpoint and

O

is the center, then

OM

is perpendicular to the chord, so

\angle OMP=90^\circ

unless

M=O.

Thus

M

lies on the circle with diameter

OP.

Conversely, each nonendpoint

M

on that circle gives

PM\perp OM,

so the line

PM

cuts a chord of

K

whose midpoint is

M.

The endpoint

M=P

gives the chord through

P

perpendicular to

OP,

while

M=O

gives the diameter through

O

and

P.

Therefore, the correct answer is E.