1978 AMC 12 Problema 11

Question

Si

r

es positivo y la recta cuya ecuación es

x+y=r

es tangente al círculo cuya ecuación es

x^2+y^2=r,

entonces

r

es igual a

If

r

is positive and the line whose equation is

x+y=r

is tangent to the circle whose equation is

x^2+y^2=r,

then

r

equals

\frac12

1

2

\sqrt2

2\sqrt2

El círculo tiene centro en el origen y radio

\sqrt r

The circle has center at the origin and radius

\sqrt r

Iguala la distancia del origen a la recta con el radio del círculo

Set the distance from the origin to the line equal to the circle’s radius

La distancia del origen a

x+y-r=0

es

\frac{r}{\sqrt2}.

Para que haya tangencia, debe ser igual al radio

\sqrt r,

de modo que

\frac r{\sqrt2}=\sqrt r.

Como

r\gt0,

al elevar al cuadrado y dividir por

r

se obtiene

r=2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The distance from the origin to

x+y-r=0

is

\frac{r}{\sqrt2}.

Tangency requires this to equal the radius

\sqrt r,

so

\frac r{\sqrt2}=\sqrt r.

Since

r\gt0,

squaring and dividing by

r

gives

r=2.

Therefore, the correct answer is C.

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