1980 AMC 12 Problema 12

Question

Las ecuaciones de

L_1

y

L_2

son

y=mx

y

y=nx,

respectivamente. Supón que

L_1

forma con la horizontal un ángulo dos veces mayor (medido en sentido antihorario desde el eje

x

positivo) que el de

L_2,

y que

L_1

tiene

4

veces la pendiente de

L_2.

Si

L_1

no es horizontal, entonces

mn

es

The equations of

L_1

and

L_2

are

y=mx

and

y=nx,

respectively. Suppose

L_1

makes twice as large an angle with the horizontal (measured counterclockwise from the positive

x

-axis) as does

L_2,

and that

L_1

has

4

times the slope of

L_2.

If

L_1

is not horizontal, then

mn

is

\frac{\sqrt2}{2}

-\frac{\sqrt2}{2}

2

-2

no está determinado de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: C

Conceptos:pendiente identidad trigonométrica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sea

\theta

el ángulo de inclinación de

L_2

Let the angle of inclination of

L_2

be

\theta

Pista grande:

Sustituye

m=4n

en

\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}

Substitute

m=4n

into

\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}

Solución:

Sea

\tan\theta=n.

Entonces

m=\tan(2\theta)

y también

m=4n.

Por lo tanto,

4n=\frac{2n}{1-n^2}.

La condición de que no sea horizontal da

n\ne0,

así que

2(1-n^2)=1,

o

n^2=\frac{1}{2}.

Por consiguiente,

mn=4n^2=2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

\tan\theta=n.

Then

m=\tan(2\theta)

and also

m=4n.

Hence

4n=\frac{2n}{1-n^2}.

The nonhorizontal condition gives

n\ne0,

so

2(1-n^2)=1,

or

n^2=\frac{1}{2}.

Thus

mn=4n^2=2.

Therefore, the correct answer is C.