1980 AMC 12 Problema 13

Question

Un insecto (de tamaño despreciable) parte del origen en el plano de coordenadas. Primero se mueve

1

unidad hacia la derecha hasta

(1,0).

Luego gira

90^\circ

en sentido antihorario y recorre

\frac12

unidad hasta

(1,\frac12).

Si continúa de esta forma, girando cada vez

90^\circ

en sentido antihorario y recorriendo la mitad de la distancia del movimiento anterior, ¿a cuál de los siguientes puntos se acercará más?

A bug (of negligible size) starts at the origin on the coordinate plane. First it moves

1

unit right to

(1,0).

Then it makes a

90^\circ

turn counterclockwise and travels

\frac12

a unit to

(1,\frac12).

If it continues in this fashion, each time making a

90^\circ

turn counterclockwise and traveling half as far as in the previous move, to which of the following points will it come closest?

(\frac23,\frac23)

(\frac45,\frac25)

(\frac23,\frac45)

(\frac23,\frac13)

(\frac25,\frac45)

Representa un giro de

90^\circ

en sentido antihorario mediante la multiplicación por

i

Represent a

90^\circ

counterclockwise turn by multiplication by

i

Los vectores de desplazamiento forman una serie geométrica infinita con razón

\frac{i}{2}

The displacement vectors form an infinite geometric series with ratio

\frac{i}{2}

Como números complejos, los vectores de desplazamiento sucesivos son

1,\ \frac i2,\ \left(\frac i2\right)^2,\ldots.

Su suma es

\frac1{1-\frac{i}{2}} =\frac{1+\frac{i}{2}}{1+\frac{1}{4}} =\frac45+\frac25i.

Así, el insecto se aproxima a

(\frac{4}{5},\frac{2}{5}).

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

As complex numbers, the successive displacement vectors are

1,\ \frac i2,\ \left(\frac i2\right)^2,\ldots.

Their sum is

\frac1{1-\frac{i}{2}} =\frac{1+\frac{i}{2}}{1+\frac{1}{4}} =\frac45+\frac25i.

Thus the bug approaches

(\frac{4}{5},\frac{2}{5}).

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 13 en otros años