1980 AMC 12 Problema 14

Question

Si

c

es una constante y la función

f

definida por

\begin{gathered} f(x)=\frac{cx}{2x+3},\\ x\ne-\frac32, \end{gathered}

satisface

f(f(x))=x

para todos los números reales

x

excepto

-\frac32,

entonces

c

es

If

c

is a constant and the function

f

defined by

\begin{gathered} f(x)=\frac{cx}{2x+3},\\ x\ne-\frac32, \end{gathered}

satisfies

f(f(x))=x

for all real numbers

x

except

-\frac32,

then

c

is

-3

-\frac32

\frac32

3

no está determinado de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: A

Conceptos:función ecuación racional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Calcula

f(f(x))

como una sola expresión racional

Compute

f(f(x))

as a single rational expression

Pista grande:

Para que el resultado sea idéntico a

x

, compara el coeficiente de

x

en el denominador

For the result to equal

x

identically, compare the coefficient of

x

in the denominator

Solución:

La composición directa da

f(f(x)) =\frac{c^2x}{(2c+6)x+9}.

Para que sea idéntica a

x,

el denominador debe ser la constante

c^2.

Por tanto,

2c+6=0

y

c^2=9,

condiciones que juntas dan

c=-3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Direct composition gives

f(f(x)) =\frac{c^2x}{(2c+6)x+9}.

For this to equal

x

identically, the denominator must be the constant

c^2.

Thus

2c+6=0

and

c^2=9,

both of which give

c=-3.

Therefore, the correct answer is A.