1981 AMC 12 Problema 11

Question

Los tres lados de un triángulo rectángulo tienen longitudes enteras que forman una progresión aritmética. Uno de los lados podría tener longitud

The three sides of a right triangle have integral lengths which form an arithmetic progression. One of the sides could have length

22

58

81

91

361

Representa los tres lados igualmente espaciados como

s-d,

s,

s+d

Represent the three equally spaced sides as

s-d,

s,

s+d

Todo triángulo rectángulo integral de este tipo es un múltiplo de un triángulo

3

-

4

-

5

Every such integral right triangle is a multiple of a

3

-

4

-

5

triangle

Si los lados son

s-d,

s,

s+d,

la ecuación pitagórica da

(s-d)^2+s^2=(s+d)^2,

de donde

s=4k

y

d=k

para algún entero positivo

k.

Así, los lados son

3k,

4k,

5k.

Entre las opciones,

81=3\cdot27

puede aparecer.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If the sides are

s-d,

s,

s+d,

the Pythagorean equation gives

(s-d)^2+s^2=(s+d)^2,

hence

s=4k

and

d=k

for some positive integer

k.

Thus the sides are

3k,

4k,

5k.

Of the choices,

81=3\cdot27

can occur.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 11 en otros años