1981 AMC 12 Problema 14

Question

En una sucesión geométrica de números reales, la suma de los dos primeros términos es

7,

y la suma de los seis primeros es

91.

La suma de los cuatro primeros términos es

In a geometric sequence of real numbers, the sum of the first two terms is

7,

and the sum of the first six terms is

91.

The sum of the first four terms is

28

32

35

49

84

Factoriza la suma de los seis primeros términos como la suma de los dos primeros multiplicada por

1+r^2+r^4

Factor the first-six-term sum into the first-two-term sum times

1+r^2+r^4

Sea

t=r^2

y resuelve

1+t+t^2=13

Set

t=r^2

and solve

1+t+t^2=13

Si el primer término es

a

y la razón es

r,

entonces

91=a(1+r)(1+r^2+r^4).

Como

a(1+r)=7,

tenemos

1+r^2+r^4=13.

Con

t=r^2\ge0,

resulta

t^2+t-12=0,

así que

t=3.

La suma de los cuatro primeros términos es

a(1+r)(1+r^2)=7(4)=28.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the first term is

a

and ratio is

r,

then

91=a(1+r)(1+r^2+r^4).

Since

a(1+r)=7,

we have

1+r^2+r^4=13.

With

t=r^2\ge0,

t^2+t-12=0,

so

t=3.

The first four terms sum to

a(1+r)(1+r^2)=7(4)=28.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 14 en otros años