1951 AMC 12 第 25 题

Question

一个正方形的面积数值等于其周长数值；一个等边三角形的面积数值也等于其周长数值。比较它们的边心距，前者的边心距：

The apothem of a square having its area numerically equal to its perimeter is compared with the apothem of an equilateral triangle having its area numerically equal to its perimeter. The first apothem will be:

等于后者

Equal to the second

是后者的

\dfrac43

倍

\dfrac43

times the second

是后者的

\dfrac{2}{\sqrt3}

倍

\dfrac{2}{\sqrt3}

times the second

是后者的

\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}

倍

\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}

times the second

与后者的关系无法确定

Indeterminately related to the second

答案：A

知识点：正多边形面积周长

难度评级：1610

小提示：

正多边形的面积等于边心距与周长乘积的一半

For a regular polygon, area equals one half the apothem times the perimeter

大提示：

若非零周长与面积数值相等，可在

A=\frac12rP

中约去周长

If a nonzero perimeter equals the area, cancel the perimeter from

A=\frac12rP

解答：

边心距为

r

、周长为

P

的任意正多边形，其面积为

A=\frac12rP

。若面积数值等于非零的周长数值，则

\frac12rP=P\text{，}

所以

r=2

。正方形与等边三角形都满足这一结论，因此二者的边心距相等。

因此，正确答案是 A。

Every regular polygon with apothem

r

and perimeter

P

has area

A=\frac12rP.

If its numerical area equals its nonzero perimeter, then

\frac12rP=P,

so

r=2.

This applies to both the square and the equilateral triangle, so their apothems are equal.

Thus, the correct answer is A.

1951 AMC 12 第 25 题

答案：A

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题