1972 AMC 12 第 22 题

Question

若

a\pm bi

(b\ne0)

是方程

x^3+qx+r=0

的虚根，其中

a

，

b

，

q

，和

r

均为实数，则用

a

和

b

表示的

q

为：

If

a\pm bi

(b\ne0)

are imaginary roots of the equation

x^3+qx+r=0,

where

a,

b,

q,

and

r

are real numbers, then

q

in terms of

a

and

b

is:

a^2+b^2

2a^2-b^2

b^2-a^2

b^2-2a^2

b^2-3a^2

答案：E

知识点：复数多项式韦达定理

难度评级：2080

小提示：

共轭数

a-bi

也是一个根

The conjugate

a-bi

is another root

大提示：

因为

x^2

项系数为零，先确定第三个根，再利用两两乘积之和

Because the

x^2

coefficient is zero, determine the third root and then use the sum of pairwise products

解答：

共轭根为

a-bi

。因为三个根之和为

0

，第三个根是

-2a

。由韦达定理，

\begin{aligned} q&=(a+bi)(a-bi)\\ &\quad-2a(a+bi)\\ &\quad-2a(a-bi)\\ &=a^2+b^2-4a^2\\ &=b^2-3a^2 \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 E。

The conjugate root is

a-bi.

Since the sum of the three roots is

0,

the third root is

-2a.

By Vieta’s formulas,

\begin{aligned} q&=(a+bi)(a-bi)\\ &\quad-2a(a+bi)\\ &\quad-2a(a-bi)\\ &=a^2+b^2-4a^2\\ &=b^2-3a^2. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.

1972 AMC 12 第 22 题

答案：E

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

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