1971 AMC 12 第 22 题

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22.

若

w

是

x^3=1

的一个虚根，则

(1-w+w^2)(1+w-w^2)

等于：

w

is one of the imaginary roots of

x^3=1,

then

(1-w+w^2)(1+w-w^2)

is equal to:

4

w

2

w^2

1

利用

w^2+w+1=0

Use

w^2+w+1=0

把

1+w^2

替换为

-w

，把

1+w

替换为

-w^2

Replace

1+w^2

-w

and

1+w

-w^2

由于

w\ne1

且

w^3=1

，有

1+w+w^2=0

。因此

\begin{gathered} 1-w+w^2=-2w,\\ 1+w-w^2=-2w^2\text{。} \end{gathered}

两式之积为

4w^3=4

。

因此，正确答案为 A。

Because

w\ne1

and

w^3=1,

we have

1+w+w^2=0.

Thus

\begin{gathered} 1-w+w^2=-2w,\\ 1+w-w^2=-2w^2. \end{gathered}

Their product is

4w^3=4.

Therefore, the correct answer is A.

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