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1965 AMC 12 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

若

a_2\ne0

，且

r

、

s

是

a_0+a_1x+a_2x^2=0

的两根，则等式

\begin{aligned} a_0+a_1x+a_2x^2 &=a_0\left(1-\frac xr\right)\\ &\quad\cdot\left(1-\frac xs\right) \end{aligned}

成立的条件是：

If

a_2\ne0

and

r,

s

are the roots of

a_0+a_1x+a_2x^2=0,

then the equality

\begin{aligned} a_0+a_1x+a_2x^2 &=a_0\left(1-\frac xr\right)\\ &\quad\cdot\left(1-\frac xs\right) \end{aligned}

holds:

当

a_0\ne0

时，对所有

x

，均成立

for all values of

x,

a_0\ne0

对所有

x

均成立

for all values of

x

仅当

x=0

时成立

only when

x=0

仅当

x=r

或

x=s

时成立

only when

x=r

or

x=s

当

a_0\ne0

时，仅在

x=r

或

x=s

时成立

only when

x=r

or

x=s,

a_0\ne0

答案：A

知识点：二次方程韦达定理因式分解

难度评级：2000

小提示：

右边要求两根都不为零

The right side requires both roots to be nonzero

大提示：

利用

rs=\frac{a_0}{a_2}

比较首项系数

Use

rs=\frac{a_0}{a_2}

to compare the leading coefficients

解答：

若

a_0\ne0

，则

rs=\frac{a_0}{a_2}\ne0

，并且

\begin{gathered} a_0\left(1-\frac xr\right) \left(1-\frac xs\right)\\ =\frac{a_0}{rs}(x-r)(x-s)\\ =a_2(x-r)(x-s) \end{gathered}

对每个

x

都等于原多项式。若

a_0=0

，则右边至少有一个分母为零。

因此，正确答案是 A。

If

a_0\ne0,

then

rs=\frac{a_0}{a_2}\ne0

and

\begin{gathered} a_0\left(1-\frac xr\right) \left(1-\frac xs\right)\\ =\frac{a_0}{rs}(x-r)(x-s)\\ =a_2(x-r)(x-s), \end{gathered}

which is the original polynomial for every

x.

If

a_0=0,

at least one denominator on the right is zero.

Therefore, the correct answer is A.

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