1965 AMC 12 第 11 题

Question

考虑以下命题：

\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad &(\sqrt{-4})(\sqrt{-16})\\ &=\sqrt{(-4)(-16)} \end{aligned}\text{，}

\mathrm{II:}\quad \sqrt{(-4)(-16)}=\sqrt{64}\text{，}

以及

\mathrm{III:}\quad \sqrt{64}=8\text{。}

其中不正确的是：

Consider the statements:

\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad &(\sqrt{-4})(\sqrt{-16})\\ &=\sqrt{(-4)(-16)}, \end{aligned}

\mathrm{II:}\quad \sqrt{(-4)(-16)}=\sqrt{64},

and

\mathrm{III:}\quad \sqrt{64}=8.

Of these the following are incorrect:

没有

none

仅

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

仅

\mathrm{II}

\mathrm{II}

only

仅

\mathrm{III}

\mathrm{III}

only

仅

\mathrm{I}

和

\mathrm{III}

\mathrm{I}

and

\mathrm{III}

only

知识点：根式复数

平方根的乘法法则要求被开方数为非负实数

The product rule for square roots requires nonnegative real radicands

直接判断命题 II 和 III

Evaluate statements II and III directly

命题 I 将

\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}

错误地用于负被开方数；在实数范围内其左边没有定义，而取复数主值时左边等于

-8

，而不是

8

。命题 II 和 III 都能正确化简为

8

。因此只有 I 不正确。

因此，正确答案是 B。

Statement I improperly applies

\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}

to negative radicands; over the reals its left side is undefined, and with principal complex roots it equals

-8,

not

8.

Statements II and III both correctly simplify to

8.

Thus only I is incorrect.

Therefore, the correct answer is B.

其他年份的第 11 题