1965 AMC 12 Problema 24

Question

Dada la sucesión

10^{\frac{1}{11}},

10^{\frac{2}{11}},

10^{\frac{3}{11}},

\ldots,

10^{\frac{n}{11}},

el menor valor de

n

para el cual el producto de los primeros

n

términos de esta sucesión excede

100{,}000

es:

Given the sequence

10^{\frac{1}{11}},

10^{\frac{2}{11}},

10^{\frac{3}{11}},

\ldots,

10^{\frac{n}{11}},

the smallest value of

n

such that the product of the first

n

members of this sequence exceeds

100{,}000

is:

7

8

9

10

11

Suma los exponentes del producto

Add the exponents in the product

Exige que

\frac{n(n+1)}{22}\gt5

Require

\frac{n(n+1)}{22}\gt5

El producto es

10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}} =10^{\frac{n(n+1)}{22}}.

Para exceder

100{,}000=10^5,

necesitamos

n(n+1)\gt110.

Para

n=10

hay igualdad, mientras que

n=11

la supera.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The product is

10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}} =10^{\frac{n(n+1)}{22}}.

To exceed

100{,}000=10^5,

we need

n(n+1)\gt110.

At

n=10

equality holds, while

n=11

exceeds it.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 24 en otros años