1966 AMC 12 Problema 24

Question

Si

\log_MN=\log_NM,

M\ne N,

MN\gt0,

y

M\ne1,

N\ne1,

entonces

MN

es igual a:

If

\log_MN=\log_NM,

M\ne N,

MN\gt0,

and

M\ne1,

N\ne1,

then

MN

equals:

\dfrac12

1

2

10

un número mayor que

2

y menor que

10

a number greater than

2

and less than

10

Escribe ambos logaritmos mediante logaritmos naturales

Write both logarithms using natural logs

La igualdad da

(\ln M)^2=(\ln N)^2

; usa

M\ne N

The equality gives

(\ln M)^2=(\ln N)^2

; use

M\ne N

El cambio de base da

\frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N},

por lo que

(\ln M)^2=(\ln N)^2.

La igualdad de los propios logaritmos daría

M=N,

lo cual está excluido. Por ello,

\ln M=-\ln N,

y

\ln(MN)=0.

Así,

MN=1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Change of base gives

\frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N},

so

(\ln M)^2=(\ln N)^2.

Equality of the logs themselves would give

M=N,

which is excluded. Hence

\ln M=-\ln N,

and

\ln(MN)=0.

Thus

MN=1.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 24 en otros años