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1969 AMC 12 第 11 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

11.

在

xy

平面中给定点

P(-1,-2)

与

Q(4,2)

，取点

R(1,m)

使

PR+RQ

最小。则

m

等于：

Given points

P(-1,-2)

and

Q(4,2)

in the

xy

-plane, point

R(1,m)

is taken so that

PR+RQ

is a minimum. Then

m

equals:

-\dfrac35

-\dfrac25

-\dfrac15

\dfrac15

-\dfrac15

或

\dfrac15

either

-\dfrac15

or

\dfrac15

答案：B

知识点：坐标几何斜率三角不等式

难度评级：1640

小提示：

当

P

、

R

、

Q

共线时，三角不等式取等号

The triangle inequality is sharp when

P,

R,

and

Q

are collinear

大提示：

求直线

PQ

上

x

坐标为

1

的点

Find the point on line

PQ

whose

x

-coordinate is

1

解答：

由三角不等式，

PR+RQ\ge PQ

，当

R

在线段

PQ

上时取等号。

PQ

的斜率为

\frac{2-(-2)}{4-(-1)}=\frac{4}{5}

。从

x=-1

移到

x=1

时，

y

坐标增加

(\frac{4}{5})(2)=\frac{8}{5}

，所以

m=-2+\frac85=-\frac25\text{。}

因此，正确答案是 B。

By the triangle inequality,

PR+RQ\ge PQ,

with equality when

R

lies on segment

PQ.

The slope of

PQ

is

\frac{2-(-2)}{4-(-1)}=\frac{4}{5}.

Moving from

x=-1

to

x=1

raises the

y

-coordinate by

(\frac{4}{5})(2)=\frac{8}{5},

so

m=-2+\frac85=-\frac25.

Therefore, the correct answer is B.

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