1971 AMC 12 第 24 题

Question

帕斯卡三角形是如下所示的正整数阵列，其中第一行为

1

，第二行有两个

1

，每行都以

1

开头和结尾，其余每个数都是其上方两个数之和。

在前

n

行中，不等于

1

的数的个数与等于

1

的数的个数之比为：

Pascal’s triangle is an array of positive integers, shown below, in which the first row is

1,

the second row is two

1

’s, each row begins and ends with

1,

and each other entry is the sum of the two entries above it.

The quotient of the number of entries in the first

n

rows which are not

1

’s and the number of

1

’s is:

\dfrac{n^2-n}{2n-1}

\dfrac{n^2-n}{4n-2}

\dfrac{n^2-2n}{2n-1}

\dfrac{n^2-3n+2}{4n-2}

以上都不是

None of these

答案：D

知识点：杨辉三角等差数列基本计数

难度评级：1760

小提示：

先数所有项，再减去边界上的

1

Count all entries and then subtract the boundary

1

’s

大提示：

前

n

行共有

\frac{n(n+1)}{2}

项，边界上共有

2n-1

个

1

The first

n

rows contain

\frac{n(n+1)}{2}

entries and

2n-1

boundary

1

’s

解答：

前

n

行共有

1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

项。边界上有

2n-1

个

1

，所以其余项的个数为

\begin{gathered} \frac{n(n+1)}2-(2n-1)\\ =\frac{n^2+n-4n+2}{2}\\ =\frac{n^2-3n+2}{2}\text{。} \end{gathered}

除以

2n-1

，得到

\frac{n^2-3n+2}{4n-2}

。

因此，正确答案为 D。

The first

n

rows contain

1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

entries. There are

2n-1

boundary

1

’s, so the number of other entries is

\begin{gathered} \frac{n(n+1)}2-(2n-1)\\ =\frac{n^2+n-4n+2}{2}\\ =\frac{n^2-3n+2}{2}. \end{gathered}

Dividing by

2n-1

gives

\frac{n^2-3n+2}{4n-2}.

Therefore, the correct answer is D.

1971 AMC 12 第 24 题

答案：D

难度评级：1760

小提示：

大提示：

解答：

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