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1971 AMC 12 第 5 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

5.

点

A

、

B

、

Q

、

D

和

C

位于图示圆上，弧

BQ

与

QD

的度数分别为

42^\circ

和

38^\circ

。角

P

与

Q

的度数之和是：

Points

A,

B,

Q,

D,

and

C

lie on the circle shown, and the measures of arcs

BQ

and

QD

are

42^\circ

and

38^\circ,

respectively. The sum of the measures of angles

P

and

Q

is:

80^\circ

62^\circ

40^\circ

46^\circ

以上都不是

None of these

答案：C

知识点：圆圆周角弧导角

难度评级：1780

小提示：

对角

P

使用圆外两割线所成角公式

Use the external-secant formula for angle

P

大提示：

加上角

Q

后，未知的截弧会相消

Adding angle

Q

cancels the unknown intercepted arc

解答：

令

m\overset{\frown}{AC}=u

。由圆外两割线所成角公式，

m\angle P=\frac12\left(m\overset{\frown}{BD}-u\right)\text{，}

而圆周角定理给出

m\angle Q=\frac{u}{2}

。因此

\begin{aligned} m\angle P+m\angle Q &=\frac12m\overset{\frown}{BD}\\ &=\frac12(42^\circ+38^\circ)\\ &=40^\circ\text{。} \end{aligned}

因此，正确答案为 C。

Let

m\overset{\frown}{AC}=u.

The external-secant formula gives

m\angle P=\frac12\left(m\overset{\frown}{BD}-u\right),

while the inscribed-angle theorem gives

m\angle Q=\frac{u}{2}.

Therefore

\begin{aligned} m\angle P+m\angle Q &=\frac12m\overset{\frown}{BD}\\ &=\frac12(42^\circ+38^\circ)\\ &=40^\circ. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

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