1973 AMC 12 Problema 21

Question

El número de conjuntos de dos o más enteros positivos consecutivos cuya suma es

100

es

The number of sets of two or more consecutive positive integers whose sum is

100

is

1

2

3

4

5

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética factor paridad enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Si hay

k

términos que comienzan con

a,

duplica la suma para obtener

200=k(2a+k-1)

If there are

k

terms beginning with

a,

double the sum to obtain

200=k(2a+k-1)

Pista grande:

Examina los divisores

k\lt\sqrt{200}

y exige que

a

sea un entero positivo

Check divisors

k\lt\sqrt{200}

and enforce that

a

is a positive integer

Solución:

Para

k\ge2

enteros positivos consecutivos que comienzan con

a,

200=k(2a+k-1).

La positividad da

k\lt\sqrt{200},

así que los posibles divisores

k

de

200

son

2,4,5,8,10.

De

2a=\frac{200}{k}-k+1,

solo

k=5

y

k=8

producen lados derechos positivos y pares. Dan los conjuntos

18,19,20,21,22

y

9,10,\ldots,16.

Por lo tanto, hay

2

conjuntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For

k\ge2

consecutive positive integers starting at

a,

200=k(2a+k-1).

Positivity gives

k\lt\sqrt{200},

so the possible divisors

k

of

200

are

2,4,5,8,10.

From

2a=\frac{200}{k}-k+1,

only

k=5

and

k=8

give positive even right-hand sides. They yield the sets

18,19,20,21,22

and

9,10,\ldots,16.

Hence there are

2

sets.

Therefore, the correct answer is B.