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1974 AMC 12 第 19 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

在附图中，

ABCD

是正方形，

CMN

是等边三角形。若

ABCD

的面积为一平方英寸，则

CMN

的面积（以平方英寸为单位）为

In the adjoining figure

ABCD

is a square and

CMN

is an equilateral triangle. If the area of

ABCD

is one square inch, then the area of

CMN

in square inches is

2\sqrt3-3

1-\frac{\sqrt3}{3}

\frac{\sqrt3}{4}

\frac{\sqrt2}{3}

4-2\sqrt3

答案：A

知识点：等边三角形勾股定理三角形面积

难度评级：2070

小提示：

正方形边长为

1

；令

DM=NB=x

，这可由比较相等的边

CM

与

CN

得到

The square has side

1;

set

DM=NB=x

by comparing the equal sides

CM

and

CN

大提示：

令

CM^2=1+x^2

与

MN^2=2(1-x)^2

相等

Equate

CM^2=1+x^2

with

MN^2=2(1-x)^2

解答：

正方形边长为

1

。由于

CM=CN

，比较它们长度的平方可得

DM=NB=x

。此外，

\begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2 \end{aligned}\text{。}

因为

CMN

是等边三角形，令两式相等可得

x^2-4x+1=0

。位于

(0,1)

内的根是

x=2-\sqrt3

。

三角形边长的平方为

1+x^2

，所以其面积为

\begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3 \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 A。

The square has side

1.

Since

CM=CN,

symmetry of their squared lengths gives

DM=NB=x.

Also,

\begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2. \end{aligned}

Equating these because

CMN

is equilateral gives

x^2-4x+1=0.

The root in

(0,1)

is

x=2-\sqrt3.

The triangle’s side has square

1+x^2,

so its area is

\begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is A.

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