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1974 AMC 12 Problema 19

Intenta el Problema 19 del 1974 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1974 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

En la figura adjunta,

ABCD

es un cuadrado y

CMN

es un triángulo equilátero. Si el área de

ABCD

es una pulgada cuadrada, entonces el área de

CMN

, en pulgadas cuadradas, es

In the adjoining figure

ABCD

is a square and

CMN

is an equilateral triangle. If the area of

ABCD

is one square inch, then the area of

CMN

in square inches is

2\sqrt3-3

1-\frac{\sqrt3}{3}

\frac{\sqrt3}{4}

\frac{\sqrt2}{3}

4-2\sqrt3

Respuesta: A

Conceptos:triángulo equilátero Teorema de Pitágoras área del triángulo

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

El cuadrado tiene lado

1;

establece

DM=NB=x

comparando los lados iguales

CM

y

CN

The square has side

1;

set

DM=NB=x

by comparing the equal sides

CM

and

CN

Pista grande:

Iguala

CM^2=1+x^2

con

MN^2=2(1-x)^2

Equate

CM^2=1+x^2

with

MN^2=2(1-x)^2

Solución:

El cuadrado tiene lado

1.

Como

CM=CN,

la simetría de los cuadrados de sus longitudes da

DM=NB=x.

Además,

\begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2. \end{aligned}

Al igualarlas, pues

CMN

es equilátero, se obtiene

x^2-4x+1=0.

La raíz en

(0,1)

es

x=2-\sqrt3.

El cuadrado del lado del triángulo es

1+x^2,

por lo que su área es

\begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The square has side

1.

Since

CM=CN,

symmetry of their squared lengths gives

DM=NB=x.

Also,

\begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2. \end{aligned}

Equating these because

CMN

is equilateral gives

x^2-4x+1=0.

The root in

(0,1)

is

x=2-\sqrt3.

The triangle’s side has square

1+x^2,

so its area is

\begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is A.

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