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1975 AMC 12 第 30 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

30.

令

x=\cos36^\circ-\cos72^\circ

。则

x

等于

Let

x=\cos36^\circ-\cos72^\circ.

Then

x

equals

\frac13

\frac12

3-\sqrt6

2\sqrt3-3

以上都不对

none of these

答案：B

知识点：三角恒等式代数变形

难度评级：1670

小提示：

令

w=\cos36^\circ

、

y=\cos72^\circ

Let

w=\cos36^\circ

and

y=\cos72^\circ

大提示：

利用

y=2w^2-1

和

w=1-2y^2

，再将两个等式相加

Use

y=2w^2-1

and

w=1-2y^2

, then add the equations

解答：

令

w=\cos36^\circ

、

y=\cos72^\circ

。由二倍角公式，

y=2w^2-1,\qquad w=1-2y^2\text{。}

两式相加得

\begin{aligned} w+y&=2(w^2-y^2)\\ &=2(w-y)(w+y)\text{。} \end{aligned}

因为

w+y\ne0

，两边相除得

w-y=\frac{1}{2}

。因此

x=\frac{1}{2}

。

因此，正确答案是 B。

Set

w=\cos36^\circ

and

y=\cos72^\circ.

The double-angle identities give

y=2w^2-1,\qquad w=1-2y^2.

Adding yields

\begin{aligned} w+y&=2(w^2-y^2)\\ &=2(w-y)(w+y). \end{aligned}

Since

w+y\ne0,

division gives

w-y=\frac{1}{2}.

Thus

x=\frac{1}{2}.

Therefore, the correct answer is B.