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1979 AMC 12 第 30 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

30.

在

\triangle ABC

中，

E

是边

BC

的中点，

D

位于边

AC

上。若

AC

的长度为

1

，且

\angle BAC=60^\circ

、

\angle ABC=100^\circ

、

\angle ACB=20^\circ

、

\angle DEC=80^\circ

，则

\triangle ABC

的面积加上

\triangle CDE

面积的两倍等于

In

\triangle ABC,

E

is the midpoint of side

BC

and

D

is on side

AC.

If the length of

AC

is

1

and

\angle BAC=60^\circ,

\angle ABC=100^\circ,

\angle ACB=20^\circ,

and

\angle DEC=80^\circ,

then the area of

\triangle ABC

plus twice the area of

\triangle CDE

equals

\frac14\cos10^\circ

\frac{\sqrt3}{8}

\frac14\cos40^\circ

\frac14\cos50^\circ

\frac18

答案：B

知识点：三角形面积全等（几何）相似等边三角形

难度评级：2200

小提示：

延长

AB

至

F

，使

AF=AC

，从而构造等边三角形

Extend

AB

to

F

so that

AF=AC

, creating an equilateral triangle

大提示：

在

BF

上取点

G

，使

\angle BCG=20^\circ

；比较

\triangle BCG

与

\triangle DCE

Choose

G

on

BF

with

\angle BCG=20^\circ

; compare

\triangle BCG

with

\triangle DCE

解答：

将

AB

经过

B

延长至

F

，使

AF=AC=1

。则

\triangle ACF

为等边三角形。在

BF

上取点

G

，使

\angle BCG=20^\circ

。由角度条件可得

\triangle FGC\cong\triangle ABC

，且

\triangle BCG\sim\triangle DCE

。因为

E

是

BC

的中点，所以相似比为

2

，从而

[BCG]=4[CDE]\text{。}

分割这个等边三角形可得

\frac{\sqrt3}{4} =2[ABC]+4[CDE]\text{。}

两边除以

2

，得到

[ABC]+2[CDE]=\frac{\sqrt3}{8}

。

因此，正确答案是 B。

Extend

AB

through

B

to

F

with

AF=AC=1.

Then

\triangle ACF

is equilateral. Choose

G

on

BF

so that

\angle BCG=20^\circ.

The angle conditions give

\triangle FGC\cong\triangle ABC,

while

\triangle BCG\sim\triangle DCE.

Since

E

is the midpoint of

BC,

the similarity scale is

2,

so

[BCG]=4[CDE].

Decomposing the equilateral triangle gives

\frac{\sqrt3}{4} =2[ABC]+4[CDE].

Dividing by

2

yields

[ABC]+2[CDE]=\frac{\sqrt3}{8}.

Therefore, the correct answer is B.