1995 AMC 12 第 30 题

Question

将

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个单位立方体堆成一个大立方体。一个平面垂直于大立方体的一条体对角线，并平分该对角线。这个平面与多少个单位立方体相交？

A large cube is formed by stacking

27

unit cubes. A plane is perpendicular to one of the internal diagonals of the large cube and bisects that diagonal. The number of unit cubes that the plane intersects is

16

17

18

19

20

答案：D

知识点：three-dimensional coordinates 生成函数

难度评级：2330

小提示：

将大立方体表示为

[0,3]^3

，写出经过其中心且垂直于体对角线的平面方程

Model the large cube as

[0,3]^3

and write the plane through its center perpendicular to the diagonal

大提示：

用每个单位立方体中

x+y+z

的最小值为其编号，并判断哪些编号能使平面相交

Index each unit cube by its minimum value of

x+y+z

and determine which index sums allow an intersection

解答：

将大立方体取为

[0,3]^3

。所求平面为

x+y+z=\frac{9}{2}

。一个下方顶点为

(i,j,k)

的单位立方体，其中

i,j,k\in\{0,1,2\}

，其内部

x+y+z

的取值从

s=i+j+k

到

s+3

。它与该平面相交，当且仅当

s=2

、

s=3

或

s=4

。在

(1+x+x^2)^3

中，

x^2

、

x^3

、

x^4

的系数分别为

6

、

7

、

6

。因此该平面与

6+7+6=19

个单位立方体相交，正确答案是 D。

Take the large cube as

[0,3]^3.

The plane is

x+y+z=\frac{9}{2}.

A unit cube with lower corner

(i,j,k),

where

i,j,k\in\{0,1,2\},

contains values of

x+y+z

from

s=i+j+k

to

s+3.

It intersects the plane exactly when

s=2,

s=3,

or

s=4.

The coefficients of

x^2,

x^3,

x^4

in

(1+x+x^2)^3

are

6,

7,

6.

Thus the plane intersects

6+7+6=19

unit cubes, and the correct answer is D.

1995 AMC 12 第 30 题

答案：D

难度评级：2330

小提示：

大提示：

解答：

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