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1958 AMC 12 第 30 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

30.

若

xy=b

且

\dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}=a

，则

(x+y)^2

等于：

If

xy=b

and

\dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}=a,

then

(x+y)^2

equals:

(a+2b)^2

a^2+b^2

b(ab+2)

ab(b+2)

\dfrac1a+2b

答案：C

知识点：分式方程对称性（代数）代数变形

难度评级：1590

小提示：

以

x^2y^2

为公分母合并

\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}

Combine

\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}

using the common denominator

x^2y^2

大提示：

利用

xy=b

求出

x^2+y^2

，再加上

2xy

Use

xy=b

to find

x^2+y^2

, then add

2xy

解答：

由于

xy=b

，

a=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2} =\frac{x^2+y^2}{b^2}\text{，}

所以

x^2+y^2=ab^2

。因此

\begin{aligned} (x+y)^2 &=x^2+y^2+2xy\\ &=ab^2+2b\\ &=b(ab+2) \end{aligned}\text{。}

所以正确答案为 C。

Since

xy=b,

a=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2} =\frac{x^2+y^2}{b^2},

so

x^2+y^2=ab^2.

Therefore

\begin{aligned} (x+y)^2 &=x^2+y^2+2xy\\ &=ab^2+2b\\ &=b(ab+2). \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.